Olá Marcos! Para exportar as conexões, tenta assim:

• Clique no ícone “Eu” na parte superior da página inicial do LinkedIn.
• Selecione Configurações e privacidade no menu suspenso.
• Clique em Privacidade dos dados à esquerda.
• Na seção Como o LinkedIn usa seus dados, clique em Obter uma cópia dos seus dados.
• Select Download larger data archive, including connections, verifications, contacts, account history, and information we infer about you based on your profile and activity.
• Selecione Solicitar arquivo.

E então você receberá um e-mail que incluirá um link no qual você pode baixar seus dados.

(Mais detalhes aqui https://www.linkedin.com/help/linkedin/answer/a566336/exportacao-de-conexoes-do-linkedin?lang=pt-BR)

Se não der certo, tente assim: https://support.linkedhelper.com/hc/pt/articles/360016337219-Exporte-seus-contatos-do-LinkedIn-para-um-arquivo-CSV-modelo-Visitar-e-Extrair-Perfis